إيجاد حلول لنظام المعادلات

نظرة عامة على نظام المعادلات

يقصد بحل نظام من معادلتين إيجاد قيم للمتغيرات التي تحقق كلتا المعادلتين في آن واحد. هذا يعني أن القيم التي تمثل حلاً لإحدى المعادلتين فقط لا تعتبر حلاً للنظام بأكمله. عند التعامل مع نظام معادلات خطية بمتغيرين، يمكن أن يكون هناك ثلاث حالات ممكنة للحلول:

• حل وحيد: يوجد زوج واحد فقط من القيم (س، ص) يحقق كلا المعادلتين، ويمثل نقطة تقاطع الخطين المستقيمين الممثلين للمعادلتين.
• لا يوجد حل: لا يوجد أي زوج من القيم يحقق كلا المعادلتين، وهذا يحدث عندما يكون الخطان المستقيمان متوازيين ولا يتقاطعان أبداً.
• عدد لا نهائي من الحلول: جميع النقاط على الخط المستقيم تمثل حلاً، وهذا يحدث عندما يكون الخطان المستقيمان متطابقين تماماً.

لفهم أفضل لكيفية التعامل مع المعادلات الخطية، يمكنك الاطلاع على مقالات أخرى حول حل معادلة من الدرجة الأولى.

طرق إيجاد حلول لنظام المعادلات

هناك عدة طرق لإيجاد حلول لأنظمة المعادلات الخطية، وأكثرها شيوعاً هي:

• طريقة الحذف
• طريقة التعويض
• طريقة الرسم البياني

أسلوب الحذف

لحل نظام المعادلات باستخدام طريقة الحذف، يمكن اتباع الخطوات التالية:

1. إعادة ترتيب المعادلات: يجب كتابة المعادلتين في الصورة القياسية، بحيث تكون المتغيرات المتشابهة مرتبة فوق بعضها البعض. على سبيل المثال:
   
   المعادلتان:
   
   2س – 3 = -5ص
   
   -2ص = -3س + 1
   
   يمكن ترتيبهما لتصبحا:
   
   5ص + 2س = 3
   
   -2ص + 3س = 1
2. تحديد المتغير المراد حذفه: يجب اختيار متغير واحد لحذفه. لتحقيق ذلك، يجب توحيد معاملات هذا المتغير في كلتا المعادلتين بحيث تكون متساوية في القيمة ومختلفة في الإشارة. على سبيل المثال، لحذف المتغير (ص) يجب ضرب المعادلة الأولى بـ (2) والمعادلة الثانية بـ (5) لتصبح المعادلتان:
   
   10ص + 4س = 6
   
   -10ص + 15س = 5
3. جمع المعادلتين: اجمع المعادلتين معاً للتخلص من المتغير الذي تم اختياره، وتبقى معادلة واحدة بمتغير واحد يسهل حلها. على سبيل المثال:
   
   19س = 11
4. حل المعادلة: حل المعادلة الناتجة لحساب قيمة المتغير المتبقي. على سبيل المثال:
   
   س = 11/19
5. التعويض: عوض القيمة التي تم الحصول عليها في إحدى المعادلتين الأصليتين لحساب قيمة المتغير الآخر. على سبيل المثال:
   
   2 × (11/19) + 5ص = 3
   
   ومنه: ص = 7/19
6. التحقق من الحل: تحقق من الحل عن طريق تعويض قيم (س) و (ص) في المعادلتين الأصليتين.

أسلوب التعويض

لحل نظام المعادلات باستخدام طريقة التعويض، يمكن اتباع الخطوات التالية:

1. جعل أحد المتغيرات موضع القانون: اختر إحدى المعادلتين واجعل أحد المتغيرين موضع القانون. على سبيل المثال، لحل المعادلتين:
   
   3س + 4ص = -5
   
   2س – 3ص = 8
   
   يمكن جعل (س) موضع القانون في المعادلة الثانية لتصبح:
   
   س = 4 + (3/2)ص
2. التعويض في المعادلة الأخرى: عوض قيمة المتغير الذي تم جعله موضع القانون في المعادلة الأخرى. على سبيل المثال:
   
   عوض قيمة (س) من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى لتصبح:
   
   3((3/2)ص + 4) + 4ص = -5
   
   (9/2)ص + 12 + 4ص = -5
   
   (17/2)ص = -17
   
   ومنه: ص = -2
3. إيجاد قيمة المتغير الآخر: عوض قيمة المتغير التي تم إيجادها في أي من المعادلتين لحساب قيمة المتغير الثاني. على سبيل المثال:
   
   عوض قيمة (ص) في المعادلة الثانية:
   
   س = 4 + (3/2)ص = 4 + (3/2) × (-2) = 1
4. التحقق من الحل: تحقق من الحل عن طريق تعويض قيم (س) و (ص) في المعادلتين الأصليتين.

الحلول البيانية للمعادلات

يمكن حل نظام المعادلات أيضاً باستخدام الرسم البياني. يتم ذلك عن طريق رسم كلتا المعادلتين على نفس الرسم البياني، والحل هو نقطة تقاطع الخطين. إذا لم يتقاطع الخطان، فإن ذلك يعني أنه لا يوجد حل للنظام.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات التربيعية، يمكنك الاطلاع على مقالات أخرى حول طرق حل المعادلة التربيعية.

نماذج لحل أنظمة المعادلات

المثال الأول

أوجد حل المعادلتين الآتيتين:

2س – 3ص = -2

4س + ص = 24

الحل:

1. نجعل س موضع القانون في المعادلة الأولى: س = (3/2)ص – 1
2. نعوض قيمة س في المعادلة الثانية: 4 × ((3/2)ص – 1) + ص = 24
3. نفك الأقواس ونبسط المعادلة: 6ص – 4 + ص = 24 => 7ص = 28 => ص = 4
4. نعوض قيمة ص في المعادلة الأولى: س = (3/2) × 4 – 1 = 5

إذاً، حل النظام هو: س = 5، ص = 4

المثال الثاني

أوجد حل المعادلتين الآتيتين:

7س + 2ص = 16

-21س – 6ص = 24

الحل:

1. نجعل ص موضع القانون في المعادلة الأولى: ص = 8 – (7/2)س
2. نعوض قيمة ص في المعادلة الثانية: -21س – 6 × (8 – (7/2)س) = 24
3. نفك الأقواس ونبسط المعادلة: -21س – 48 + 21س = 24 => -48 = 24

الجواب غير منطقي، إذاً لا يوجد حل للنظام.

المثال الثالث

أوجد حل المعادلتين الآتيتين:

-7س – 2ص = -13

س – 2ص = 11

الحل:

1. نجعل س موضع القانون في المعادلة الثانية: س = 11 + 2ص
2. نعوض قيمة س في المعادلة الأولى: -7 × (11 + 2ص) – 2ص = -13
3. نفك الأقواس ونبسط المعادلة: -77 – 14ص – 2ص = -13 => -16ص = 64 => ص = -4
4. نعوض قيمة ص في المعادلة الثانية: س = 11 + 2 × (-4) = 3

إذاً، حل النظام هو: س = 3، ص = -4

المثال الرابع

أوجد حل المعادلتين الآتيتين:

-3س – 4ص = 2

5س + 5ص = -5

الحل:

1. نقسم المعادلة الثانية على 5: س + ص = -1
2. نضرب المعادلة الجديدة في 4: 4س + 4ص = -4
3. نجمع المعادلتين: س = -2
4. نعوض قيمة س في المعادلة س + ص = -1: -2 + ص = -1 => ص = 1

إذاً، حل النظام هو: س = -2، ص = 1

المثال الخامس

أوجد حل المعادلتين الآتيتين:

3س + 2ص = 16

7س + ص = 19

الحل:

1. نضرب المعادلة الثانية بـ (-2) : -14س-2ص=-38
2. نجمع المعادلتين: -11س=-22, س=2
3. نعوض قيمة س في المعادلة الثانية: 7×(2)+ص=19, ص=5

إذاً، حل النظام هو: س = 2، ص = 5

المثال السادس

أوجد حل المعادلتين الآتيتين:

5س-2ص=10

4س-6ص=3

الحل:

1. نضرب المعادلة الأولى بـ (-3) : -15س+6ص=-30
2. نجمع المعادلتين: -11س=-27, س= 27/11
3. نعوض قيمة س في المعادلة الثانية: 4×(27/11)-6ص=3, -6ص=3-(108/11), -6ص= -75/11, ص= 75/66 = 25/22

إذاً، حل النظام هو: س = 27/11، ص = 25/22

المثال السابع

أوجد حل المعادلتين الآتيتين:

7س-3ص =31

9س-5ص = 41

الحل:

1. نضرب المعادلة الأولى بـ (5)، والمعادلة الثانية بـ (-3) : 35س-15ص=155, -27س+15ص=-123
2. نجمع المعادلتين: 8س=32, س=4
3. نعوض قيمة س في المعادلة الثانية: 9×(4)-5ص=41, -5ص=5, ص=-1

إذاً، حل النظام هو: س = 4، ص = -1

المثال السابع – حل بالتعويض

أوجد حل المعادلتين الآتيتين:

7س-3ص =31

9س-5ص = 41

الحل:

1. نجعل س موضع القانون في المعادلة الثانية: س= 41/9+5/9ص
2. نعوض قيمة س في المعادلة الأولى: 7×(41/9+5/9ص)-3ص= 31
3. نفك الأقواس ونبسط المعادلة: 287/9+35/9ص-3ص=31, ومنه: 8/9ص= -8/9, ص= -1
4. نعوض قيمة ص في المعادلة الأولى: س = 41/9+5/9ص = 41/9+5/9×(-1) = 4

إذاً، حل النظام هو: س = 4، ص = -1