مقدمة عن طريقة إكمال المربع
تُعتبر تقنية إكمال المربع من الأساليب الهامة في إيجاد جذور المعادلات التربيعية. تعتمد هذه الطريقة على تحويل الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية إلى صورة أخرى تسمح بإيجاد الحل بسهولة. الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية هي: (أ س² + ب س + جـ = 0)، حيث أن (أ) لا يساوي صفرًا. والهدف من إكمال المربع هو الوصول إلى صيغة تشبه: ((س ± هـ)²= د).
توضيح خطوات الحل بإكمال المربع
لحل معادلة تربيعية عن طريق إكمال المربع، نتبع الخطوات التالية بتأنٍ:
-
فصل المتغيرات عن الثوابت: نبدأ بنقل الحد الثابت (جـ) إلى الطرف الآخر من المعادلة، مع الإبقاء على المتغيرات (س) في الطرف الأيمن، لتصبح المعادلة على الشكل التالي:
أ س² + ب س = – جـ -
جعل معامل س² يساوي 1: نقسم جميع حدود المعادلة على معامل الحد التربيعي (أ). هذا يضمن أن يكون معامل س² مساويًا للواحد الصحيح:
س² + (ب/أ) س = – جـ/أ -
إضافة مربع نصف معامل س: نقوم بقسمة معامل (س) (وهو ب/أ) على 2، ثم نربع الناتج. نضيف هذه القيمة إلى كلا طرفي المعادلة. هذه الخطوة أساسية لإكمال المربع:
((ب/أ)/2)²
س² + (ب/أ) س + ((ب/أ)/2)² = – جـ/أ + ((ب/أ)/2)² -
تحويل المعادلة إلى صيغة مربع كامل: الطرف الأيمن للمعادلة الآن هو مربع كامل. يمكننا كتابته على الصورة:
(س + (ب/أ)/2)² = – جـ/أ + ((ب/أ)/2)² -
أخذ الجذر التربيعي للطرفين: بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. يجب أن نتذكر أن الجذر التربيعي يعطي قيمتين، موجبة وسالبة:
√ (س + (ب/أ)/2)² = ± √(- جـ/أ + ((ب/أ)/2)²)
س + (ب/أ)/2 = ± √(- جـ/أ + ((ب/أ)/2)²) -
إيجاد قيم س: نفصل المعادلتين، إحداهما بالقيمة الموجبة والأخرى بالقيمة السالبة، ثم نحل كل معادلة لإيجاد قيمتي المتغير (س):
س = – (ب/أ)/2 ± √(- جـ/أ + ((ب/أ)/2)²)
تطبيق عملي: مثال محلول
لترسيخ الفهم، دعونا نطبق طريقة إكمال المربع على المعادلة التالية:
2 س² + 8 س – 10 = 0
-
نقل الحد الثابت:
2 س² + 8 س = 10 -
القسمة على معامل س²:
س² + 4 س = 5 -
إضافة مربع نصف معامل س: معامل س هو 4، نصفه 2، ومربعه 4. نضيف 4 إلى الطرفين:
س² + 4 س + 4 = 5 + 4
س² + 4 س + 4 = 9 -
تحويل إلى مربع كامل:
(س + 2)² = 9 -
أخذ الجذر التربيعي:
س + 2 = ± √9
س + 2 = ± 3 -
إيجاد قيم س:
س = -2 ± 3
إذن، س₁ = -2 + 3 = 1 و س₂ = -2 – 3 = -5
وبذلك، يكون حلا المعادلة هما 1 و -5.
