إيجاد جذور المعادلات التربيعية: طريقتان أساسيتان

جدول المحتويات

• مقدمة حول المعادلات التربيعية
• صيغة القانون العام
• تحليل المميز
• مزايا استخدام القانون العام والمميز
• أمثلة تطبيقية
• المراجع

مقدمة حول المعادلات التربيعية

تعتبر المعادلات التربيعية من أهم المفاهيم في علم الجبر، وهي معادلات رياضية تتضمن متغيرًا مرفوعًا للقوة الثانية. هذه المعادلات لها تطبيقات واسعة في مجالات متنوعة مثل الفيزياء والهندسة والاقتصاد. لحل هذه المعادلات وإيجاد قيم المتغير، غالبًا ما نلجأ إلى طريقتين رئيسيتين: القانون العام والمميز.

تعتبر المعادلة التربيعية هي كل معادلة يمكن كتابتها على الصورة التالية: أ س² + ب س + جـ = 0 ، حيث أ، ب، جـ هي ثوابت عددية، و أ لا يساوي صفر.

صيغة القانون العام

القانون العام هو أداة قوية لإيجاد جذور المعادلة التربيعية، أي قيم المتغير ‘س’ التي تحقق المعادلة. يتم استخدام القانون العام عندما يصعب حل المعادلة التربيعية بطرق أخرى مثل التحليل إلى عوامل.

بالنسبة للمعادلة التربيعية على الصورة: أ س² + ب س + جـ = 0، فإن القانون العام يعطى بالصيغة التالية:

س = [ – ب ± ( ب²- 4 أ جـ ) √ ] / 2 أ

حيث أن:

• س: يمثل حل أو حلول المعادلة (جذور المعادلة).
• أ: معامل س².
• ب: معامل س.
• جـ: الحد المطلق.

تحليل المميز

المميز هو جزء من القانون العام، وهو المقدار الموجود تحت الجذر التربيعي (ب² – 4 أ جـ). يلعب المميز دورًا حاسمًا في تحديد عدد الحلول الممكنة للمعادلة التربيعية وطبيعتها.

المميّز = ( ب² – 4 أ جـ )

حيث أن:

• أ: معامل س².
• ب: معامل س.
• جـ: الحد المطلق.

بعد حساب قيمة المميز، يمكننا تحديد طبيعة الحلول كما يلي:

• إذا كان المميز > 0، فإن للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان. يمكن إيجاد قيمتيهما باستخدام القانون العام.
• إذا كان المميز < 0، فإنه لا يوجد للمعادلة جذور حقيقية. في هذه الحالة، تكون الجذور أعدادًا مركبة. ولا يمكن إيجاد قيمة لـ س باستخدام القانون العام في نطاق الأعداد الحقيقية.
• إذا كان المميز = 0، فإن للمعادلة جذر حقيقي واحد (أو جذران متساويان). ويمكن إيجاد قيمة هذا الجذر باستخدام القانون العام.

مزايا استخدام القانون العام والمميز

تتميز طريقة استخدام القانون العام والمميز في حل المعادلات التربيعية بعدة مزايا:

• سهولة التطبيق: يمكن تطبيق القانون العام مباشرة عن طريق تعويض قيم معاملات المعادلة (أ، ب، جـ) في الصيغة.
• الشمولية: تصلح هذه الطريقة لحل جميع أنواع المعادلات التربيعية، بغض النظر عن شكل الحدود أو طبيعة المعاملات. سواء كانت المعاملات أعدادًا صحيحة أو كسرية أو عشرية، يمكن استخدام القانون العام لإيجاد الحلول.
• تحديد طبيعة الحلول: يمكن استخدام المميز لتحديد عدد الحلول الممكنة للمعادلة وطبيعتها (حقيقية أو مركبة) قبل البدء في الحل.

أمثلة تطبيقية

فيما يلي مثال توضيحي لكيفية استخدام القانون العام والمميز لحل معادلة تربيعية:

لنفترض أن لدينا المعادلة التالية: 4 س² – 24 س + 35 = 0

الحل:

1. حساب المميز:

نبدأ بحساب قيمة المميز لتحديد عدد الجذور المحتملة:

( ب² – 4 أ جـ ) = ( (-24)² – 4 × 4 × 35 ) = ( 576 – 560 ) = 16

بما أن المميز = 16 > 0، فإن للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان.

2. تطبيق القانون العام:

نستخدم الآن القانون العام لإيجاد قيمة الجذور:

س = [ – ب ± ( ب² – 4 أ جـ ) √ ] / 2 أ

س = [ – (-24) ± ( (-24)² – 4 × 4 × 35 ) √ ] / 2 × 4

س = [ 24 ± 16 √ ] / 8

س = [ 24 ± 4 ] / 8

إذًا، لدينا حلان:

• س₁ = (24 + 4) / 8 = 28 / 8 = 7 / 2
• س₂ = (24 – 4) / 8 = 20 / 8 = 5 / 2

إذًا، حلول المعادلة هي س = 7/2 و س = 5/2.

المراجع

1. The quadratic formula, khanacademy
2. quadratic-equation, britannica
3. discriminant, cuemath
4. Peter Flom (24/4/2017),Pros & Cons of Methods for Quadratic Equations, sciencing