جدول المحتويات
ما هو الهرم؟
يُعرّف الهرم هندسياً بأنه شكل ثلاثي الأبعاد ذو قاعدة مضلعة وأوجه مثلثة تتلاقى في نقطة واحدة تسمى رأس الهرم. يُصنّف الهرم بناءً على زاوية انحدار أوجهه الجانبية: هرم قائم (حيث يكون الخط الواصل بين الرأس ومركز القاعدة عمودياً على القاعدة)، وهرم مائل (حيث لا يكون الخط المذكور عمودياً).
تصنيفات الأهرامات
تتنوع الأهرامات حسب شكل قاعدتها، ومن أشهر أنواعها:
- الهرم الثلاثي: قاعدته مثلث، وله أربعة أوجه مثلثة وأربعة رؤوس وستة أحرف.
- الهرم الرباعي: قاعدته مربعة، وله خمسة أوجه (أربعة مثلثات ومربع) وخمسة رؤوس وثمانية أحرف.
- الهرم الخماسي: قاعدته خماسية، وله ستة أوجه (خمس مثلثات وخماسية) وستة رؤوس وعشرة أحرف.
- الهرم السداسي: قاعدته سداسية، وله سبعة أوجه (ست مثلثات وسداسية) وسبعة رؤوس واثني عشر حرفاً.
من المهم ملاحظة أن قاعدة الهرم لا يمكن أن تكون دائرية أو بيضاوية، بل يجب أن تكون مضلعاً.
قوانين حساب مساحة الهرم
تختلف طريقة حساب المساحة الكلية للهرم حسب نوعه. بالنسبة للهرم القائم المنتظم، يمكن حساب المساحة الكلية بجمع مساحة القاعدة مع مجموع مساحات الأوجه الجانبية المتطابقة. أما الأهرام المائلة أو غير المنتظمة، فيُحسب كل وجه على حدة ثم تجمع المساحات.
قانون المساحة الكلية للهرم القائم المنتظم: مساحة القاعدة + (1/2 × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي)
أما بالنسبة لمساحة أوجه الأهرام المختلفة، فسنستخدم القوانين التالية:
- مساحة الهرم الثلاثي: (1/2 × ارتفاع القاعدة × طول ضلع القاعدة) + (3/2 × طول ضلع القاعدة × الارتفاع الجانبي)
- مساحة الهرم الرباعي: (طول ضلع القاعدة)² + 2 × (طول ضلع القاعدة × الارتفاع الجانبي)
- مساحة الهرم الخماسي: (5/2 × المسافة العمودية من مركز القاعدة إلى ضلعها × طول ضلع القاعدة) + (5/2 × طول ضلع القاعدة × الارتفاع الجانبي)
- مساحة الهرم السداسي: 3 × (المسافة العمودية من مركز القاعدة إلى ضلعها × طول ضلع القاعدة) + 3 × (طول ضلع القاعدة × الارتفاع الجانبي)
حساب حجم الهرم
لحساب حجم أي هرم، نستخدم القانون العام التالي:
حجم الهرم = (1/3) × مساحة القاعدة × الارتفاع
ويمكن تطبيق هذا القانون على جميع أنواع الأهرامات بعد حساب مساحة القاعدة.
أمثلة تطبيقية
سنعرض بعض الأمثلة لحساب حجم ومساحة أهرامات مختلفة، مع توضيح خطوات الحل:
مثال 1: الهرم الثلاثي ذو قاعدة متساوية الأضلاع، أطوال أضلاعها 15 سم، 15 سم، 18 سم، وارتفاع الهرم 20 سم. احسب حجمه.
الحل: يتم أولاً حساب مساحة القاعدة المثلثة، ثم يتم تطبيق قانون حجم الهرم.
مثال 2: هرم رباعي، ارتفاعه 9 متر، وطول ضلع قاعدته 4 متر. احسب حجمه.
الحل: يتم حساب مساحة القاعدة المربعة، ثم تطبيق قانون الحجم.
مثال 3: يريد مهندس بناء هرم رباعي سعته 12000 قدم مكعب، وطول ضلع قاعدته 30 قدم. احسب ارتفاع الهرم.
الحل: يتم استخدام قانون الحجم لحساب الارتفاع المطلوب.
مثال 4: هرم رباعي، طول ضلع قاعدته 10م، وطول ضلع أحد أوجهه المثلثة 13م. احسب حجمه.
الحل: يتم استخدام نظرية فيثاغورس لحساب ارتفاع الهرم، ثم تطبيق قانون الحجم.
مثال 5: ما هي المساحة الكلية للهرم الرباعي الذي طول ضلع قاعدته 10م، وطول ضلع أحد أوجهه المثلثة 13م؟
الحل: يتم استخدام نظرية فيثاغورس لحساب الارتفاع الجانبي، ثم تطبيق قانون المساحة الكلية.
مثال 6: ما هي المساحة الكلية للهرم الثلاثي ذو قاعدة متساوية الأضلاع (كل ضلع 6 سم)، وارتفاع الوجه الجانبي 10 سم؟
الحل: يتم حساب مساحة القاعدة، ومحيطها، ثم تطبيق قانون المساحة الكلية.
مثال 7: هرم ثلاثي مائل وغير منتظم. احسب مساحته الكلية معطى مساحة أحد أوجهه.
الحل: يتم حساب مساحة كل وجه على حدة ثم جمعها للحصول على المساحة الكلية.
