المحتويات
مقدمة في البرهان الرياضي بالاستنتاج
يعتبر البرهان الرياضي بالاستنتاج أسلوبًا مهمًا في الرياضيات لإثبات صحة العبارات والقوانين الرياضية. وهو طريقة لإظهار أن عبارة رياضية ما صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية. بمعنى آخر، هو برهان على صحة سلسلة لانهائية من الحالات، مثل حالة قطع الدومينو المتساقطة الواحدة تلو الأخرى أو صعود الدرج.
يُعرف أيضًا بـ “الاستقراء الرياضي”، وهو أسلوب برهاني يستخدم لإثبات أن معادلة أو متباينة ما صحيحة لمجموعة لانهائية من الأعداد. يعتمد هذا الأسلوب على مبدأ أساسي وهو أنه إذا كانت العبارة صحيحة للقيمة الأولى، وإذا كانت صحة العبارة لقيمة معينة تستلزم صحتها للقيمة التالية، فإن العبارة صحيحة لجميع القيم.
وهو أسلوب يستخدم لإثبات أن جملة رياضية معينة صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية، أي جميع الأعداد الموجبة غير السالبة. يتم ذلك من خلال إثبات صحة الجملة الأولى في السلسلة، ثم إثبات أنه إذا كانت الجملة صحيحة لعدد ما، فإنها ستكون صحيحة للعدد الذي يليه.
يعتمد هذا الأسلوب على التحقق من صحة العبارة الرياضية عند نقطة البداية، ومن ثم إثبات أن صحة العبارة عند أي عدد طبيعي يؤدي إلى صحتها عند العدد الذي يليه. بهذه الطريقة، يتم إثبات صحة العبارة لجميع الأعداد الطبيعية.
المراحل الأساسية للاستنتاج الرياضي
يتكون البرهان بالاستنتاج الرياضي من عدة مراحل رئيسية:
- التحقق من صحة العبارة للعدد الأول (الأساس): يتم في هذه المرحلة إثبات أن العبارة الرياضية صحيحة عند أصغر عدد طبيعي، وعادة ما يكون 1.
- فرضية الاستقراء: نفترض أن العبارة الرياضية صحيحة لعدد طبيعي ما، وليكن ‘ن’.
- خطوة الاستقراء: باستخدام فرضية الاستقراء، نثبت أن العبارة الرياضية صحيحة للعدد الطبيعي الذي يلي ‘ن’، أي ‘ن+1’.
- الاستنتاج: إذا تم إثبات المراحل الثلاث السابقة، فإن العبارة الرياضية تكون صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية.
تطبيق العبارة الرياضية
تكمن أهمية تطبيق العبارة الرياضية في التحقق من صحتها للأعداد الطبيعية (1، 2، 3، …). غالبًا ما يتم تطبيق المعادلة على العدد 1 لتوفير الوقت والجهد.
للتوضيح، نبدأ بالتحقق من أن الجملة الرياضية أو المعادلة قابلة للتحقق لكل عدد طبيعي، مثل الأعداد (1، 2، 3،…). ولتسهيل العملية، عادةً ما يتم تطبيق المعادلة الرياضية على الرقم 1 فقط.
مرحلة الاستقراء
تُعرف هذه المرحلة بعدة أسماء، منها “خطوة الاستقراء” أو “الخطوة الاستقرائية”. يتم في هذه المرحلة إثبات أن المعادلة الرياضية تنطبق على جميع الأعداد الطبيعية، حيث تكون المعادلة على شكل (ن+1).
في هذه المرحلة، يتم إثبات أن المعادلة الرياضية صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية. تبدأ هذه المرحلة بإظهار أن المعادلة صحيحة عندما يكون ‘ن=1’. ثم يتم كتابة الفرضية الاستقرائية، حيث نفترض أن ‘p’ عدد صحيح. بعد ذلك، يتم تطبيق هذه الفرضية على المعادلة (ن+1)، وفي النهاية يتم إثبات أن المعادلة (p(k+1 صحيحة).
بمعنى آخر، تبدأ هذه المرحلة بإظهار أن (ن=1) ينطبق على الأعداد، ثم تليها الفرضية الاستقرائية التي يتم فيها كتابة الفرضية الاستقرائية لنفترض أن p عبارة عن عدد صحيح حيث يجب أن يكون تبعا للمتغير ويتم تطبيقه على المعادلة (n+1)، وفي نهاية الخطوة الاستقرائية يتم إثبات أن المعادلة (p (k+1 صحيحة.
علاقة الاستنتاج بفرضية الدومينو
يرتبط الاستقراء الرياضي بشكل وثيق بفرضية الدومينو. تبدأ هذه الفرضية بإسقاط قطعة الدومينو الأولى، ثم يتم العمل على إسقاط قطعة الدومينو الثانية. بناءً على نتائج المرحلتين الأولى والثانية، يتم افتراض نتائج المراحل اللاحقة.
لتبسيط الفهم، تخيل صفًا من قطع الدومينو. إذا أسقطت القطعة الأولى، فإنها ستؤدي إلى سقوط القطعة الثانية، وهكذا. في الاستقراء الرياضي، إثبات صحة العبارة للعدد الأول يشبه إسقاط القطعة الأولى، وإثبات أن صحة العبارة للعدد ‘ن’ تؤدي إلى صحتها للعدد ‘ن+1’ يشبه التأكد من أن كل قطعة دومينو ستؤدي إلى سقوط القطعة التي تليها.
“الإستنتاج الرياضي”،سترنغ فيكسر، اطّلع عليه بتاريخ 6/2/2022. بتصرّف.