المحتويات
مقدمة في متباينات القيمة المطلقة
تعتبر متباينات القيمة المطلقة (بالإنجليزية: Absolute value inequalities) تعبيرات رياضية تتضمن قيمة مطلقة بالإضافة إلى علامات التباين المختلفة. حل هذه المتباينات لا يختلف باختلاف علامة التباين، ولكن يجب الانتباه إلى أن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة. على سبيل المثال، لا يمكن أن يكون |س+3| < 0.
في الأقسام التالية، سنتناول طرق التعامل مع متباينات القيمة المطلقة بالتفصيل.
التعامل مع متباينات القيمة المطلقة باستعمال خط الأعداد
تحتوي متباينات القيمة المطلقة على تعبير جبري داخل القيمة المطلقة. يمكن حل هذه المتباينات باستخدام خط الأعداد. إليكم طريقة الحل خطوة بخطوة مع مثال توضيحي:
مثال: حل المتباينة التالية: |س+2| > 4
- الخطوة الأولى: تحويل علامة التباين إلى علامة مساواة وحل المعادلة: |س+2| = 4. ينتج عن ذلك معادلتان:
- س+2 = 4، وبالتالي س = 2
- س+2 = -4، وبالتالي س = -6
- الخطوة الثانية: تمثيل قيم المتغير (س) على خط الأعداد بالترتيب. هذا يقسم خط الأعداد إلى ثلاث فترات.
- الخطوة الثالثة: اختيار عدد عشوائي من كل فترة وتعويضه في المتباينة الأصلية للتحقق من الفترة المطلوبة، كما هو موضح في الجدول التالي:
| الفترة | العدد العشوائي | تعويض العدد في المتباينة |س+2| > 4 | النتيجة |
|---|---|---|---|
| (-∞، -6) | -7 | |-7+2| > 4 => 5 > 4 | صحيح |
| (-6، 2) | 0 | |0+2| > 4 => 2 > 4 | خاطئ |
| (2، ∞) | 3 | |3+2| > 4 => 5 > 4 | صحيح |
الخطوة الرابعة: اختيار الفترات الصحيحة بناءً على نتائج التعويض. في هذا المثال، الفترات الصحيحة هي (-∞، -6) و (2، ∞). وبالتالي، يكون الحل هو س < -6 أو س > 2.
حل متباينات القيمة المطلقة من خلال الصيغ الرياضية
بالإضافة إلى استخدام خط الأعداد، يمكن حل متباينات القيمة المطلقة باستخدام الصيغ الرياضية. هناك أربع حالات رئيسية:
- الحالة الأولى: |س| < ب أو |س| ≤ ب
الحل: -ب < س < ب أو -ب ≤ س ≤ ب
مثال: |س-50| ≤ 2
الحل: -2 ≤ س-50 ≤ 2. نضيف (50) إلى جميع الأطراف: 48 ≤ س ≤ 52
- الحالة الثانية: |س| > ب أو |س| ≥ ب
الحل: س > ب أو س < -ب أو س ≥ ب أو س ≤ -ب
مثال: |2س-1| ≥ 4
الحل: نفصل المتباينة إلى جزأين ونحل كل منهما على حدة:
- 2س-1 ≥ 4 => 2س ≥ 5 => س ≥ 5/2
- 2س-1 ≤ -4 => 2س ≤ -3 => س ≤ -3/2
- الحالة الثالثة: |س| < -ب أو |س| ≤ -ب
لا يوجد حل.
مثال: |س-2| < -3 ، لا يوجد حل.
- الحالة الرابعة: |س| > -ب أو |س| ≥ -ب
الحل هو جميع الأعداد الحقيقية.
مثال: |س-2| > -3، الحل هو جميع الأعداد الحقيقية (R).
نظرة عامة على القيمة المطلقة والمتباينات
القيمة المطلقة: يمكن تعريف القيمة المطلقة (بالإنجليزية: Absolute value) بأنها المسافة التي يبعدها العدد الحقيقي عن الصفر على خط الأعداد، بغض النظر عن إشارته. تكون هذه القيمة دائمًا موجبة.
تُكتب القيمة المطلقة للرقم أو المتغير على شكل |س|، حيث (س) هو عدد حقيقي. على سبيل المثال: |4| = 4 و |-4| = 4.
دالة القيمة المطلقة
تُعبر عن دالة القيمة المطلقة بالصيغة: ق(س) = |س|، حيث:
- |س| = + س، إذا كانت س > 0
- |س| = – س، إذا كانت س < 0
تحول دالة القيمة المطلقة قيم المتغير (س) إلى قيم موجبة دائمًا. على سبيل المثال: ق(-4) = |-4| = 4 و ق(-234) = |-234| = 234.
عند رسم دالة القيمة المطلقة بيانيًا، فإنها تعطي شكل حرف (V). ومن أهم خصائصها:
- مجالها هو جميع الأعداد الحقيقية.
- مداها هو الصفر وجميع الأعداد الحقيقية التي تزيد عنه.
- رسمها البياني يقع بالكامل فوق محور السينات.
- رسمها البياني متماثل مع محور الصادات.
المتباينات
تعرف المتباينات (بالإنجليزية: Inequalities) بأنها تعبيرات رياضية لا يتساوى فيها الطرفان، على عكس المعادلات. يتم استبدال إشارة المساواة بإشارات رياضية أخرى، مثل:
- أ ≠ ب: أ لا تساوي ب
- أ > ب: أ أكبر من ب
- أ < ب: أ أصغر من ب
- أ ≥ ب: أ أكبر من ب أو تساويها
- أ ≤ ب: أ أصغر من ب أو تساويها
هناك أنواع مختلفة من المتباينات، بما في ذلك:
- متباينات متعددة الحدود
- متباينات القيمة المطلقة
- متباينات نسبية