جدول المحتويات
تقسيم المثلثات حسب الزوايا الداخلية
يمكن تصنيف المثلثات بالاعتماد على قياسات زواياها الداخلية إلى ثلاثة أنواع رئيسية:
المثلثات الحادة الزوايا
تتميز المثلثات الحادة (بالإنجليزية: Acute triangles) بأن جميع زواياها الداخلية تقل عن 90 درجة. بمعنى آخر، كل زاوية في المثلث هي زاوية حادة. على سبيل المثال، في المثلث أ ب ج، إذا كان قياس الزاوية أ ب ج يساوي 78 درجة، وقياس الزاوية ب ج أ يساوي 34 درجة، وقياس الزاوية ج ب أ يساوي 68 درجة، فإن هذا المثلث يعتبر حاد الزوايا.
المثلثات المنفرجة الزاوية
تُعرف المثلثات المنفرجة الزاوية (بالإنجليزية: Obtuse triangles) بوجود زاوية واحدة على الأقل قياسها أكبر من 90 درجة. في هذا النوع من المثلثات، توجد زاوية منفرجة بين زاويتين حادتين. كمثال، في المثلث أ ب ج، إذا كان قياس الزاوية أ ب ج يساوي 40 درجة، وقياس الزاوية ب ج أ يساوي 19 درجة، وقياس الزاوية ج ب أ يساوي 121 درجة، فإنه يصنف كمثلث منفرج الزاوية.
المثلثات القائمة الزاوية
المثلثات القائمة الزاوية (بالإنجليزية: Right triangles) هي تلك التي تحتوي على زاوية واحدة قياسها بالضبط 90 درجة. الضلع المقابل للزاوية القائمة يسمى الوتر، وهو أطول ضلع في المثلث. على سبيل المثال، إذا كان قياس الزاوية أ ب ج في المثلث أ ب ج يساوي 90 درجة، وقياس الزاوية ب ج أ يساوي 17 درجة، وقياس الزاوية ج ب أ يساوي 73 درجة، فإن المثلث يعتبر قائم الزاوية.
أنواع المثلثات تبعًا لأطوال أضلاعها
تصنف المثلثات أيضًا بناءً على أطوال أضلاعها إلى ثلاثة أنواع:
المثلث المتساوي الأضلاع
المثلث المتساوي الأضلاع (Equilateral Triangle) هو المثلث الذي تكون فيه جميع الأضلاع الثلاثة متساوية في الطول. نتيجة لهذا التساوي، تكون جميع الزوايا الداخلية الثلاثة متساوية أيضًا، ويبلغ قياس كل منها 60 درجة.
المثلث المتساوي الساقين
المثلث المتساوي الساقين (Isosceles Triangle) يتميز بوجود ضلعين متساويين في الطول. يترتب على هذا التساوي أن الزاويتين المقابلتين لهذين الضلعين المتساويين تكونان متساويتين أيضًا. هاتان الزاويتان تمثلان زاويتي القاعدة في المثلث.
المثلث المختلف الأضلاع
المثلث المختلف الأضلاع (Scalene Triangle) هو المثلث الذي لا يوجد فيه أي ضلعين متساويين في الطول، مما يعني أن جميع الأضلاع الثلاثة لها أطوال مختلفة. ونتيجة لذلك، تكون جميع الزوايا الداخلية الثلاثة مختلفة في القياس.
أمثلة متنوعة على أنواع المثلثات
فيما يلي بعض الأمثلة التي توضح كيفية تصنيف المثلثات بناءً على معطيات مختلفة:
المثال الأول: صنّف المثلثات التالية حسب المعطيات:
- مثلث قياس زواياه الداخلية: (90°,50°,40°)
- مثلث قياس زواياه الداخلية: (47°,72°,61°)
- مثلث قياس أطوال أضلاعه الثلاث: (6سم، 6سم، 9سم)
- مثلث قياس زواياه الداخلية: (115°,35°,30°)
- مثلث قياس أطوال أضلاعه الثلاث: (9سم، 4سم، 6سم)
- مثلث قياس زواياه: (146°,12°,22°)
الحل:
| المعطيات | تصنيف المثلث من حيث الأضلاع أو الزوايا |
|---|---|
| مثلث قياس زواياه الداخلية: (47°,72°,61°) | مثلث حاد الزوايا ومختلف الأضلاع. |
| مثلث قياس أطوال أضلاعه الثلاث: (9سم، 4سم، 6سم) | مثلث مختلف الأضلاع ومختلف الزوايا. |
| مثلث قياس زواياه الداخلية: (90°,50°,40°) | مثلث قائم الزاوية ومختلف الأضلاع. |
| مثلث قياس زواياه الداخلية: (115°,35°,30°) | مثلث منفرج الزاوية ومختلف الأضلاع. |
| مثلث قياس أطوال أضلاعه الثلاث: (6سم، 6سم، 9سم) | مثلث متساوي الساقين. |
| مثلث قياس زواياه: (146°,12°,22°) | مثلث منفرج الزاوية ومختلف الأضلاع. |
المثال الثاني: إذا كانت النسبة بين الزوايا الثلاث لمثلث ما هي: 1:2:3، فما هو نوع هذا المثلث؟
الحل:
لنفترض أن قياس الزاوية الأولى هو س، وبالتالي تكون قياس الزاويتين الأخريين 2س و 3س. نعلم أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة. إذًا:
س + 2س + 3س = 180
6س = 180
س = 30
إذًا، الزوايا هي:
- الزاوية الأولى: 30°
- الزاوية الثانية: 60°
- الزاوية الثالثة: 90°
وبالتالي، المثلث قائم الزاوية.
المثال الثالث: إذا كان قياس إحدى الزوايا المتساوية في المثلث متساوي الساقين هو 50°، احسب قياس الزاوية الثالثة.
الحل:
بما أن المثلث متساوي الساقين، فإن الزاويتين المتساويتين قياسهما 50°. إذن:
قياس الزاوية الثالثة = 180 – (50 + 50) = 80°
المثال الرابع: إذا كان قياس أضلاع مثلث متساوي الأضلاع هي: 3س+12، 4س+8، 6س، جد طول كل منها.
الحل:
بما أن المثلث متساوي الأضلاع:
3س + 12 = 6س
3س = 12
س = 4
إذن، طول كل ضلع = 6س = 6 * 4 = 24 سم.
المثال الخامس: هل المثلث الذي يبلغ طول أضلاعه: 5، 6، 8 سم قائم الزاوية؟
الحل:
نستخدم نظرية فيثاغورس:
هل 8² = 5² + 6² ؟
64 هل تساوي 25 + 36 ؟
64 هل تساوي 61 ؟
بما أن 64 لا تساوي 61، فإن المثلث ليس قائم الزاوية. ولأنه مختلف الأضلاع ومجموع مربعي الضلعين الأقصر أقل من مربع الضلع الأطول، فهو منفرج الزاوية.