مقدمة
في علم الرياضيات، نتعامل باستمرار مع كميات مختلفة، بعضها يظل ثابتاً لا يتغير، والبعض الآخر يتغير بتغير الظروف. تُعرف الكميات التي تحافظ على قيمتها بالثوابت، بينما تُسمى الكميات التي تتغير قيمتها بالمتغيرات. هذا المقال يتناول نوعين مهمين من العلاقات بين المتغيرات وهما التناسب المباشر والتناسب المركب، مع شرح مفصل لكل منهما وأمثلة توضيحية.
فهم العلاقات بين الكميات المتغيرة
في الجبر، تتشكل الروابط بين الكميات المتغيرة، حيث ترتبط اثنتان أو أكثر من هذه الكميات ببعضها البعض وفقًا لعدة علاقات. من بين هذه الروابط:
- التناسب المباشر: يمثل علاقة بين متغيرين بحيث يزداد أحدهما بزيادة الآخر أو ينقص بنقصانه، مع الحفاظ على نسبة ثابتة بينهما.
- التناسب العكسي: يمثل علاقة بين متغيرين بحيث يزداد أحدهما بنقصان الآخر.
- التناسب المركب: يمثل علاقة بين متغير وثلاثة متغيرات أو أكثر.
استكشاف التناسب المباشر
التناسب المباشر هو رابط يجمع بين متغيرين، بحيث يؤدي ازدياد أحدهما إلى زيادة الآخر بنسبة ثابتة، وكذلك، يؤدي نقصان أحدهما إلى نقصان الآخر بنفس النسبة الثابتة. هذه النسبة تُعرف بثابت التناسب. رياضيًا، إذا كان المتغير ‘ص’ يتناسب طرديًا مع المتغير ‘س’، يمكن التعبير عن هذه العلاقة بالصيغة: ص/ س = م، حيث ‘م’ هو ثابت التناسب.
الغوص في التناسب المركب
التناسب المركب يحدث عندما يتناسب متغير ما طرديًا مع حاصل ضرب متغيرين آخرين. هذا التناسب يتم بنسبة ثابتة، ويمكن التعبير عن ثابت التناسب (م) بقسمة المتغير الأول على حاصل ضرب المتغيرين الآخرين. على سبيل المثال، إذا كان المتغير ‘ع’ يتناسب طرديًا مع حاصل ضرب المتغيرين ‘س’ و ‘ص’، فإن: م=ع/ (س*ص).
تطبيقات عملية: أمثلة على التناسب المباشر
مثال 1: إيجاد ثابت التناسب
إذا كانت العلاقة بين المتغير (ص) والمتغير (س) علاقة تناسب مباشر، فأوجد ثابت التناسب إذا كان ص= 24، س=3.
الحل:
بما أن العلاقة بين ص وس علاقة هي تناسب مباشر، فإن ص/ س = م، حيث إن م هي ثابت التناسب
إذا 24/3= 8، إذا ثابت التناسب يساوي 8.
مثال 2: حساب قيمة متغير
إذا كانت العلاقة بين المتغير (ص) والمتغير (س) علاقة تناسب مباشر، وكانت قيمة ص= 30 عندما تكون س=6، فأوجد قيمة ص عندما تكون س=100.
الحل:
بما أن العلاقة بين ص وس هي علاقة تناسب مباشر، فإن ص/ س = م، حيث إن م هي ثابت التناسب
إذا 30/6=5، إذا ثابت التناسب يساوي 5
وإذا كان ص/ س= م، وإذا ضربنا طرفي المعادلة ب “س”، ستصبح (ص= م*س)
إذا: ص = 5 * 100 = 500، إن قيمة ص=500 عندما تكون س= 100
مثال 3: تطبيق ثابت التناسب
إذا كانت العلاقة بين المتغير (ن) والمتغير (ك) علاقة تناسب مباشر، كان ثابت التناسب يساوي (5/3) فأوجد قيمة ن عندما تكون ك=9.
الحل:
بما أن العلاقة بين ن و ك هي علاقة تناسب مباشر، فإن ن/ ك = م، حيث إن م هي ثابت التناسب ويساوي في هذا المثال (5/3)
إذا: ن/ 9 = 5/3، وبضرب طرفي المعادلة بالرقم 9 تصبح المعادلة كالتالي:
ن= (5*9) /3 = 45/3 =15
إذًا ن=15 عندما ك=9.
توضيح بالتطبيق: مثال على التناسب المركب
مثال: إذا كانت العلاقة بين المتغير (ع) و المتغيرين( س) و(ص) علاقة مركبة، وكان ع=6 عندما كون ص=4 و س= 3 ، فأوجد قيمة ع عندما تكون ص=4 و س=7.
الحل:
بما أن العلاقة بين ع و (ص، س) هي علاقة مركبة، فان ع/ (س*ص) = م ، حيث أن م هي ثابت التناسب.
اذا م = 6/ (4*3) = 6/12 =0.5 ، اذا ثابت التناسب يساوي 0.5
0.5 =ع / (4 * 7 ) ، وعند ضرب طرفي المعادلة ب 28
28 * 0.5=ع ، ع=14